Równania kanoniczne

Opis praw mechaniki przy pomocy funkcji Lagrange’a opera się na równaniach wyrażonych przy pomocy współrzędnych i prędkości uogólnionych. Innym podejściem jest opis przy pomocy współrzędnych i pędów uogólnionych. Przejście od jednego zbioru zmiennych do drugiego odbywa się za pomocą przekształcenia Legendre’a. Różniczka zupełna funkcji Lagrange’a jako funkcji współrzędnych i prędkości jest równa:

Wyrażenie to można zapisać w postaci:

gdyż pochodna z L wzięta dla pochodnej z położenia uogólnionego jest pędem. Przekształcając te równania trzymujemy:

Wielkość pod znakiem różniczki jest energią układu przedstawioną w postaci funkcji współrzędnych i pędów i nosi nazwę funkcji Hamiltona. Równania ruchu w zmiennych p i q, czyli równania Hamiltona mają postać:

Równania te stanowią układ 2s równań różniczkowych pierwszego rzędu z 2s niewiadomymi funkcjami p(t ) i q(t ). Z powodu symetrii i prostoty układ tych równań nosi nazwę równań kanonicznych. W przypadku gdy funkcja Hamiltona nie zależy jawnie od czasu otrzymujemy zasadę zachowania energii wyrażoną równaniem: