Zderzenia cząstek

Rozpatrzmy sprężyste zderzenie cząstek, czyli takie podczas którego nie zmieniają się ich wewnętrzne stay. Założenie takie pozwala rozpatrywać proces zderzenie nie biorąc pod uwagę wewnętrznej energii cząstek. Zdefiniujmy laboratoryjny układ odniesienia jako taki, w którym jedna z cząstek spoczywa a druga porusza się z prędkością v. Jednak najprościej opisać proces zderzenia w układzie odniesienia, w którym spoczywa środek masy obu cząstek, czyli w układzie środka masy. W takim układzie prędkości cząstek są związane z prędkością v w układzie laboratoryjnym zależnościami (prędkości w układzie środka masy wyróżnione są wskaźnikiem 0):

Z zasady zachowania pędu wynika, że pędy cząstek po zderzeniu są równe i przeciwnie skierowane, a z zasady zachowania energii wynika. że nie zmieniają one swoich bezwzględnych wartości. Tak więc wskutek zderzenia cząstki zmieniają w układzie środka masy zwroty swoich prędkości, a nie zmieniają wartości bezwzględnej prędkości. Oznaczając przez n₀ jednostkowy wektor w kierunku prędkości możemy prędkości cząstek po zderzenie zapisać w postaci (prim oznacza prędkość po zderzeniu):

Aby przejść do laboratoryjnego układu odniesienia należy do powyższych wzorów dodać prędkość v środka masy co prowadzi do zależności:

Rozpraszanie cząstek

Weźmy pod uwagę rozproszenie jednej cząstki o masie m w polu U(r) nieruchomego centrum sił. Tor cząstki w polu centralnym jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez centrum i przez najmniej odległy punkt orbity. W związku z tym obie asymptoty orbity tworzą z tą prostą jednakowe kąty Φ. Kąt φ jest dany całką:

 gdzie r_min jest najmniejszą odległością orbity od centrum pola i jednocześnie jest to miejsce zerowe wyrażenia stojącego pod pierwiastkiem. Badając ruch nieskończony wygodniej jest posługiwać się zamiast E i M prędkością cząstki w nieskończoności v_∞ i parametrem zderzenia b. Parametr ten jest odległością centrum pola od asymptoty orbity mającej kierunek v_∞. Wykorzystując te parametry wyrażenie na kąt φ przyjmuje postać:

 W fizyce zazwyczaj mamy do czynienia nie z rozpraszaniem jednej cząstki ale rozpraszaniem wiązki cząstek. Różne czaski w wiązce mają różne parametry zderzenia, zatem rozpraszają się pod różnymi kątami. Oznaczmy przez dN ilość cząstek rozpraszanych w jednostce czasu pod kątami leżącymi w przedziale φ i  φ + dφ. Liczba dN jest niewygodna do stosowania gdyż zależy od gęstości padających cząstek, dlatego tez wprowadza się wartość dσ = dN/n, gdzie n jest liczbą cząstek przechodzących w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłego przekroju wiązki; dσ ma wymiar powierzchni i nosi nazwę przekroju czynnego na rozpraszanie. Parametr ten jest określny przez rodzaj pola rozpraszającego. 

Podstawmy do powyższego wzoru na φ wyrażenie na U = α/r i wykonajmy całkowanie:

 skąd

Wyrażenie na przekrój czyny ma postać:

gdzie do jest katem bryłowym ograniczonym przez stożki o katach wierzchołkowych φ i  φ + dφ, równym do = 2πsinφdφ.

Wzór ten nosi nazwę wzoru Rutherforda i jest słuszny zarówno w przypadku kulombowskiego pola odpychania jak i przyciągania. Przekrój czynny można przedstawić w funkcji strat energii ε cząstki m₁ zmieniającej się od 0 do ε_max = 2m²v_∞²/m₂. Ma on postać: