Cząstki i antycząstki

Pole elektromagnetyczne, opisane jako układ fotonów, charakteryzuje się nieskończoną ilością stopni swobody. W takim układzie nie istnieje prawo zachowani ilości cząstek, a tym samym istnieją stany, w których liczba fotonów może być dowolna. Podobne właściwości, w ogólności, powinny wykazywać w teorii relatywistycznej układy dowolnych cząstek.. W teorii nierelatywistycznej zachowanie liczby cząstek jest związane z prawem zachowania masy, z którego wynika, ze suma mas cząstek nie zmienia się w wyniku ich oddziaływania. Zachowanie sumy mas w układzie pociąga za sobą również niezmienność ich ilości. W teorii relatywistycznej prawo zachowania masy nie istnieje zastąpione przez konieczność zachowania energii. Zatem liczba cząstek w układzie, w ujęciu relatywistycznym, nie powinna być zachowana, a co za tym idzie teoria relatywistyczna powinna mieć nieskończoną liczbę stopni swobody. Inaczej mówiąc relatywistyczna teoria cząstek zmienia się w teorię pola. Aparatem matematycznym do opisu układu o zmiennej ilości cząstek jest aparat drugiej kwantyzacji, w którym zmiennymi są liczby obsadzeni różnych sanów cząstki. W opisie pola elektromagnetycznego rolę operatora drugiej kwantyzacji spełnia potencjał pola, który wyraża się przez funkcje falowe pojedynczych fotonów i operatory ich kreacji i anihilacji. Przy opisie układu cząstek podobną rolę odgrywa operator kwantowej funkcji falowej. Ponieważ rozważania poniższe dotyczą cząstek o dowolnym spinie, to amplituda fali u(p) w równaniu opisującym fale płaskie:

może być skalarem dla cząstek o spinie zero, bispinorem dla cząstek o spinie połówkowym itd. Zgodnie z regułami drugiej kwantyzacji dowolną funkcję falowa powinniśmy rozłożyć na funkcje własne układu możliwych stanów swobodnej cząstki, czyli na fale płaskie:

Współczynniki a_p i a_p^* należy traktować jako operatory â_p i â_p⁺ anihilacji i kreacji cząstek o odpowiednich spinach. Aby fala płaska spełniała równanie falowe powinien spełniony być tylko jeden warunek:

ε² = p² + m²

zatem wartość energii ε może mieć dwie wartości

Fizyczny sens energii cząstki swobodnej może mieć jedynie dodatnia wartość ε, a jednocześnie nie można po prostu pominąć wartości ujemnych. W związku z tym ogólnym rozwiązaniem równania falowego jest tylko superpozycja wszystkich niezależnych rozwiązań szczegółowych. Zapiszmy współczynniki rozwinięcia ψ i ψ^*  w drugiej kwantyzacji w postaci:

W pierwszej sumie występują fale płaskie z dodatnimi, a w drugiej z ujemnymi częstościami, a ε jest wszędzie wartością dodatnią. Przy drugiej kwantyzacji współczynniki  a_p⁽⁺⁾ zastępujemy przez operatory anihilacji cząstek. W drugiej sumie wskaźnik sumowania p zmieniamy na –p. gdyż sumowanie przeprowadzany po wszystkich możliwych wartościach p, a przy takiej zmianie zarówno obszar sumowania jak i wielkość sumy nie ulega zmianie. Po tej operacji czynnik wykładniczy pod znakiem sumy przyjmuje postać e^{i(εt – pr)} czyli odpowiadającą sprzężonym funkcjom falowym ψ_p^* o dodatnich częstościach. Funkcje takie przy drugiej kwantyzacji powinny być przemnożone przez operator kreacji cząstek ĉ_p⁺ innych cząstek w ogólności różnych od tych do których odnoszą się operatory â_p⁺. Po zastosowaniu tych zmian otrzymujemy dwa wyrażenia na operator kwantowej funkcji falowej:

gdzie u(–p) ≡ u(–ε, –p).

Ponieważ operatory a_p i ĉ_p są mnożone przez funkcje o prawidłowych zależnościach od czasu (e^–iεt ), a operatory a_p⁺ i ĉ_p⁺ przez funkcje sprzężone zespolone to możemy interpretować operatory a_p i ĉ_p jako operatory anihilacji, a operatory a_p⁺ i ĉ_p⁺ jako operatory kreacji cząstek o pędach p i energii ε. W ten sposób wykazujemy istnienie dwu rodzajów cząstek występujących równocześnie, a ponieważ ich operatory występują w tym samym operatorze funkcji falowej czyli spełniają to samo równanie falowe, to ich masy są jednakowe. 

W nierelatywistycznej teorii drugiej kwantyzacji hamiltonian układu cząstek otrzymuje się z wyrażenia ∫ψ⁺Ĥ_p ψ co prowadzi, po uwzględnieniu faktu, że wartości własne operatorów kreacji i anihilacji to liczby obsadzeni stanów, do faktu, że wartości własne energii układu są równe sumie iloczynów energii i obsadzeni poszczególnych stanów, a liczba cząstek w układzie jest równa sumie liczb cząstek w poszczególnych stanach. W teorii relatywistycznej hamiltonian pojedynczej cząstki ma również ujemne wartości własne, a tym samym wyrażenie na hamiltonian układu przyjmuje postać:

Druga suma odpowiada ujemnym wartościom własnym ε_p, i stąd znak minus przed sumą. Teraz operator ilości cząstek przyjmuje postać:

Aby wyznaczyć wartości własne obydwu operatorów należy doprowadzić kolejność czynników w drugich sumach to typowej kolejności ĉ_p⁺ĉ_p bo wartości własne takiego iloczynu operatorów równe są liczbom obsadzeni. Odpowiednio wartości własne a_p⁺a_p oraz ĉ_p⁺ĉ_p są liczbami całkowitymi i odpowiadają liczbom cząstek i antycząstek w odpowiednich stanach. Operator Q natomiast wskazuje, że w układzie obowiązuje prawo wymagające zachowania nie liczby cząstek i antycząstek, a tylko różnicy tych liczb. Inaczej mówiąc w różnych procesach mogą powstawać i zanikać pary: cząstka – antycząstka. Procesy akie muszą przebiegać zgodnie z zasadą zachowania energii i pędu oddziałujących cząstek, czyli w wyniku zderzenia cząstki z antycząstką pojawiają się inne cząstki tak aby energia i pęd były zachowane. Pojawiającymi się cząstkami, w procesie anihilacji są fotony. Jeżeli cząstka posiada ładunek elektryczny to antycząstka ma taki sam ładunek ale o przeciwnym znaku. Gdyby obydwie cząstki miały ten sam znak ładunku to ich zniknięcie lub pojawienie się byłoby sprzeczne z zasadą zachowania całkowitego ładunku.