Zasada nierozróżnialności identycznych cząstek

 W mechanice klasycznej jednakowe cząstki, takie jak na przykład elektrony, mimo ich identyczności właściwości fizycznych nie tracą swoich swojej "indywidualności". Można sobie wyobrazić ich ponumerowanie co umożliwia śledzenie ich ruchu po torach i w ten sposób można je zidentyfikować w każdej chwili.

W mechanice falowej sytuacja jest inna. Zasada nieoznaczoności pozbawia sensu pojęcie toru cząstki. Jeżeli położenie elektronu w przestrzeni jest w danej chwili dokładnie określone to w chwili następnej jego współrzędne w ogóle nie mają żadnej określonej wartości. Z tego powodu mimo zlokalizowania cząstek i ich ponumerowania w danej chwili czasu nie uzyskujemy możliwości ich identyfikacji w następnej chwili czasu. Zatem w mechanice kwantowej nie mamy możliwości śledzenia ruchu każdej z jednakowych cząstek, a tym samym nie istnieje możliwość ich rozróżnienia. Z tego wynika, że identyczność cząstek, czyli identyczność ich właściwości fizycznych prowadzi do całkowitej ich nierozróżnialności. Zasada nierozróżnialności jednakowych cząstek odgrywa podstawową rolę w mechanice kwantowej.

Rozważmy układ składający się z dwóch cząstek. na skutek ich identyczności stany układu otrzymane w wyniku wymiany tych cząstek powinny być równoważne. Oznacza to, że w wyniku takiego przestawienia cząstek funkcja falowa układu może zmienić się jedynie o nieistotny czynnik fazowy. Jeżeli oznaczymy funkcję falową układu przez ψ(ζ₁,ζ₂), gdzie ζ₁ i ζ₂ oznaczają zbiór trzech składowych przestrzennych i rzut spinu każdej z cząstek, to powinno zachodzić:

ψ(ζ₁,ζ₂) = e^iαψ(ζ₂,ζ₁)

 gdzie α oznacza stałą rzeczywista. W wyniku następnego przestawienia cząstek wracamy do stanu początkowego, a funkcja zostaje pomnożona przez e^2iα. Wynika stąd, że e^2iα=1 lub e^iα=±1, a zatem ψ(ζ₁,ζ₂) = ±ψ(ζ₂,ζ₁). W związku z tym istnieją tylko dwie możliwości, albo funkcja falowa jest symetryczna, czyli nie zmienia się w wyniku przestawienia cząstek, albo antysymetryczna, czyli zmienia znak po przestawieniu cząstek. Funkcje falowe wszystkich stanów tego samego układu powinny mieć tę samą symetrię, gdyż w przeciwnym wypadku funkcja falowa stanu będącego superpozycją stanów o różnej symetrii nie byłaby ani symetryczna ani antysymetryczna. Uogólniając to stwierdzenie na układ złożony z dowolnej liczby cząstek można stwierdzić, że z identyczności cząstek wynika, że jeżeli któraś ich para opisywana jest symetryczną funkcją falową to każda inna para tych cząstek będzie miała tę samą własność. Funkcja falowa identycznych cząstek powinna bądź zupełnie nie zmieniać się przy zamianie dwóch cząstek ze sobą lub zmieniać znak przy przestawieniu każdej pary. To czy cząstki są opisywane funkcjami symetrycznymi czy antysymetrycznymi zależy od ich rodzaju. Cząstki opisywane antysymetrycznymi funkcjami falowymi podlegają statystyce Fermiego-Diraca i nazywane są fermionami, a opisywane funkcjami symetrycznymi podlegają statystyce Bosego-Einsteina i noszą nazwę bozonów. Związek między spinem a statystyką , której dane cząstki podlegają wskazuje, że cząstki o spinie połówkowym są fermionami, a o spinie całkowitym bozonami.

Statystyka cząstek złożonych zależy od tego czy liczba wchodzących w ich skład elementarnych fermionów jest parzysta czy nieparzysta. W związku z tym dla atomów statystykę określa parzystość liczby atomowej i masowej.

Weźmy pod uwagę układ złożony z N jednakowych cząstek, których wzajemne oddziaływanie można zaniedbać. Funkcje φ₁, φ₂, ... będą funkcjami falowymi różnych stanów stacjonarnych, w których może znajdować się każda z cząstek. Stan całego układu można określić przez podanie numerów stanów, w których znajdują się pojedyncze cząstki. Teraz pojawia się problem jak zbudować funkcję falową ψ całego układu z funkcji φ₁, φ₂, ... . Niech p₁, p₂, ..., p_N oznaczają numery stanów, w których znajdują się poszczególne cząstki. Dla układu złożonego z bozonów funkcja falowa ψ(ζ₁, ζ₂, ..., ζ_N ) jest sumą iloczynów typu: ψ_p1(ζ₁)ψ_p2(ζ,₂), ...,ψ_pN(ζ,_N) ze wszystkimi możliwymi przestawieniami wskaźników p₁, p₂, ..., p_N i suma taka ma wymaganą symetrię. Dla układu dwóch cząstek, znajdujących się w różnych stanach, p₁ ≠ p₂, mamy:

W ogólnym przypadku układu o dowolnej liczbie N cząstek unormowana funkcja falowa przyjmuje postać:

gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach wskaźników p₁, p₂, ..., p_N, a liczba N wskazuje ile tych wskaźników ma jednakowe wartości. Przy całkowaniu kwadratu |ψ|² po dζ₁, dζ₂, ..., dζ_N znikają wszystkie człony z wyjątkiem kwadratów modułów każdego z członów sumy, czyli całkowita liczba członów w sumie jest równa: N!/N₁!N₂!.... , z tego wynika współczynnik unormowania w powyższym wzorze.

W przypadku fermionów funkcja falowa jest antysymetryczną kombinacją iloczynów, a tym samym dla układu złożonego z dwóch cząstek mamy:

W ogólnym przypadku, dla N cząstek funkcja falowa zapisana w formie wyznacznika ma postać:

Przestawieniu dwóch cząstek odpowiada tutaj przestawienie dwóch kolumn wyznacznika, w wyniku czego wyznacznik zmienia znak. Istotny wniosek wynikający z takiego zapisu jest taki, że jeżeli wśród numerów p₁, p₂, ..., p_N są dwa jednakowe to jednakowe są również dwa wiersze wyznacznika, a więc wyznacznik jest równy tożsamościowo zeru. Różny od zera będzie tylko wtedy gdy wszystkie numery p₁, p₂, ..., p_N są różne. W związku z tym w układzie złożonym z jednakowych fermionów w danym stanie może znajdować się tylko jedna cząstka. Jest to treść zakazu Pauliego.