Kwantowanie pola elektromagnetycznego

Podstawowa metoda przejścia od klasycznego opisu pola elektromagnetycznego do opisu kwantowego polega na rozłożeniu pola na oscylatory. W związku z tym należy rozważyć swobodne fale elektromagnetyczne opisane za pomocą potencjałów wybranych tak aby potencjał skalarny był równy zero, a pozostawał do opisu tylko potencjał wektorowy A. W pewnym dużym, ale skończonym obszarze przestrzeni Ω pole można rozłożyć na biegnące fale płaski. Wtedy potencjał wyraża szereg postaci:

:gdzie współczynniki c_k zależą od czasu zgodnie z c_k ~ e^–iωt, a ω jest modułem wektora falowego k (ω = |k|). Jednocześnie każdy ze współczynników c_k jest ortogonalny względem odpowiedniego wektora falowego, czyli c_kk = 0. Sumowanie w powyższym wzorze przebiega po nieskończonym. ale dyskretnym zbiorze wartości wektora falowego, a właściwie po jego składowych k_x, k_y, k_z. W związku z tym przejście od sumowania do całkowania po rozkładzie ciągłym odbywa się przez zastosowanie wyrażenia:

dla liczby możliwych wartości wektora k przypadających na jednostkę objętości w przestrzeni k. Znajomość wektora c_k całkowicie określa pole w rozpatrywanym obszarze, a co za tym idzie zbiór jego wartości tworzy dyskretny zbiór klasycznych zmiennych pola. Musimy jednak dokonać przekształcenia tych zmiennych w taki sposób aby uzyskały one postać kanonicznych równań Hamiltona mechaniki klasycznej. Kanoniczne zmienne pola definiuje się następująco

i są to wielkości rzeczywiste (kropka nad Q oznacza pochodną). Teraz energię zdefiniowaną przez funkcję Hamiltona można przedstawić następująco:

Każdy z wektorów P_k i Q_k jest prostopadły do wektora falowego k, czyli ma dwie niezależne składowe. Kierunek tych wektorów określa kierunek polaryzacji fali. Jeżeli oznaczymy składowe wektorów P_k i Q_k w płaszczyźnie prostopadłej do k przez P_kσ i Q_kσ to funkcja Hamiltona przyjmie postać:

W takim wypadku funkcja Hamiltona składa się z sumy niezależnych czynników, z których każdy zawiera tylko jedną parę zmiennych P_kσ i Q_kσ.Każdy z tych wyrazów odpowiada fali o określonym wektorze falowym i polaryzacji i ma postać funkcji Hamiltona dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. Tak sformułowana postać hamiltonianu, czyli w formie wektorowej, pozwala na przejście od teorii klasycznej do mechaniki kwantowej. Można teraz rozpatrywać zmienne kanoniczne, czyli współrzędne i pędy uogólnione P_kσ i Q_kσ jako operatory spełniające reguły komutacyjne w formie:

gdzie jak wiadomo wszystkie operatory o wskaźnikach kσ komutują ze sobą wzajemnie. W takim ujęciu operatorem staje się również potencjał A. Teraz hamiltonian pola przyjmuje postać operatorową:

a wyznaczenie wartości własnych takiego hamiltonianu nie wymaga obliczeń, gdyż sprowadza się do zagadnienia poziomów energetycznych oscylatora liniowego, którego rozwiązanie jest znane. Wzór opisujący poziomy energetyczne pola ma postać:

gdzie N_kσ są liczbami całkowitymi.

Klasyczne wyrażenia pędu pola opisuje wzór:

gdzie n = k/k. Odpowiedni operator powstaje przez zamianę H_kσ na Ĥ_kσ, a jego wartość jest równa:

Teraz możemy wypisać nieznikające elementy macierzowe współrzędnej Q_kσ oscylatora, które są równe:

Elementy macierzowe P_kσ równe pierwszej pochodnej z Q_kσ różnią się od elementów macierzowych współrzędnych tylko czynnikiem ±i ω, i wynoszą:

 Bezpośredni sens fizyczny mają nie same operatory współrzędnej i pędu lecz ich kombinacje liniowe

odpowiadające współczynnikom c_kσ w rozwinięciu klasycznym. Jedyne nie znikające elementy macierzowe tych współczynników są równe (N_kσ)^½. Operatory ĉ_kσ i ĉ⁺_kσ komutują ze sobą, a wyrażenie na operator pola elektromagnetycznego przyjmuje postać:

Przez e^(σ) oznaczono wektory jednostkowe określające polaryzację oscylatorów, są one prostopadłe do wektora falowego k i każdemu k odpowiadają dwie niezależne polaryzacje oznaczone wskaźnikami σ = 1, 2. Należy pamiętać, że w przypadku polaryzacji liniowej wektor jest rzeczywisty i wskazuje bezpośrednio kierunek polaryzacji, a w przypadku polaryzacji kołowej (eliptycznej) jest zespolony i ma określony stosunek składowej rzeczywistej do urojonej. W takim wypadku wektor jednostkowy jest dany iloczynem liczby i jej sprzężenia zespolonego równym 1.

Powyższy opis pola elektromagnetycznego jest nazywany przedstawieniem Schrödingera, w którym operatory różnych wielkości fizycznych nie zależą w sposób jawny pod czasu. Ewolucję układu w czasie opisuje zależność funkcji falowej od czasu. W przedstawieniu Heisenberga zależność od czasu została przeniesiona z funkcji falowych na operatory. Równorzędna zależność operatorów od współrzędnych i czasu pozwala bezpośrednio wyrazić relatywistyczną niezmienność czasoprzestrzenna teorii. Dla operatora  przejście do przedstawienia Heisenberga polega na dodaniu w każdym wyrazie sumy czynnika e^–iωt. Wtedy wyrażenie na  przybiera postać:

gdzie