Oddziaływanie wymienne

Równanie Schrödingera nie uwzględnia spinu cząstek. Nie dyskwalifikuje to równania ponieważ w przypadku nierelatywistycznym wzajemne elektryczne oddziaływanie cząstek nie zależy od ich spinu. W związku z tym hamiltonian układu cząstek oddziałujących elektrycznie nie zawiera operatora spinu (przy nieobecności pola magnetycznego) i jego działanie na funkcję falową nie wpływa na zmienne spinowe. W związku z tym każda ze składowych funkcji falowej spełnia z osobna równanie Schrödingera, czyli można funkcję dla cząstek zapisać w postaci:

ψ(ζ₁, ζ₂, ...) = χ(ζ₁, ζ₂, ...)φ(r₁, r₂, ...)

gdzie funkcja φ zależy tylko od współrzędnych cząstek, a χ tylko od ich spinów. Funkcję zależną od współrzędnych nazywa się orbitalną, a zależną od spinów spinową funkcją falową. Równanie Schrödingera pozwala tylko na wyznaczenie orbitalnej funkcji falowej, a spinowa pozostaje dowolna. Jednak pomimo niezależności elektrycznego oddziaływania cząstek od ich spinu, występuje zależność energii układu od całkowitego spinu, wynikająca z zasady nierozróżnialności cząstek.

Rozpatrując układ składający się z dwóch jednakowych cząstek z rozwiązania równania Schrödingera znajdujemy szereg poziomów energetycznych, z których każdemu odpowiada symetryczna lub antysymetryczna orbitalna funkcja falowa φ(r₁, r₂). Hamiltonian układu dwóch jednakowych cząstek jest niezmienniczy względem ich przestawienia. Jest to zrozumiałe, gdyż jeżeli funkcje są niezdegenerowane to przy zmianie współrzędnych r₁ na r₂ funkcja φ(r₁, r₂) może zmienić się jedynie o stały czynnik. Po dokonaniu kolejnego przestawienia, czyli r₂ na r₁ wracamy do stanu początkowego, a z tego wynika, że czynnik ten może być równy jedynie ±1.

Załóżmy, że cząstki te mają spin równy zero. W takim przypadku czynnik spinowy w ogóle nie występuje i funkcja falowa sprowadza się tylko do orbitalnej funkcji φ(r₁, r₂), która powinna być symetryczna gdyż cząstki o zerowym spinie podlegają statystyce Bosego. W takim wypadku układ nie może występować w stanach, którym odpowiadają antysymetryczne funkcje φ.

Przestawienie dwu jednakowych cząstek jest równoważne inwersji ich współrzędnych (początek układu wybieramy w środku odcinka łączącego obie cząstki). Z drugiej strony w wyniku inwersji funkcja falowa zostaje pomnożona przez czynnik (–1)l, gdzie l jest orbitalnym momentem pędu względnego ruchu obu cząstek. Biorąc pod uwagę poprzednią uwagę stwierdzamy, że układ dwóch jednakowych cząstek o spinie zerowym może posiadać tylko parzysty orbitalny moment pędu.

Teraz rozpatrzmy układ złożony z dwóch cząstek o spinie połówkowym. Teraz funkcja falowa układu jest iloczynem dwóch funkcji zależnych od spinu i współrzędnych i powinna być antysymetryczna względem przestawienia cząstek. Zatem, jeżeli orbitalna funkcja falowa jest symetryczna, to funkcja spinowa powinna być antysymetryczna i na odwrót. W ten sposób poziomy energetyczne, którym odpowiadają symetryczne rozwiązania φ(r₁, r₂) równania Schrödingera mogą występować w rzeczywistości tylko wtedy gdy całkowity spin układu jest równy zero, czyli wtedy gdy spiny obu elektronów są antyrównoległe. Wartości energii należące do stanów opisywanych antysymetrycznymi funkcjami falowymi odpowiadają układowi o całkowitym spinie równym jedności, to znaczy sytuacji, gdy spiny obydwu cząstek są równoległe, W związku z tym możliwe wartości energii układu zależą od całkowitego spinu. W tym sensie można mówić o specyficznym oddziaływaniu cząstek. Oddziaływanie tego typu nosi nazwę oddziaływania wymiennego