Oscylator liniowy

Rozpatrzmy cząstkę wykonującą drgania jednowymiarowe czyli tak zwany oscylator liniowy. Energia potencjalna takiej cząstki jest równa mω ²x ²/2, gdzie ω oznacza w mechanice klasycznej częstość drgań własnych. Ponieważ hamiltonian układu to suma energii kinetycznej i potencjalnej, to dla oscylatora przyjmuje on postać:

Energia potencjalna dąży do nieskończoności gdy x → ∞, czyli cząstka wykonuje ruch skończony, a całe widmo wartości własnych energii jest dyskretne.

Poziomy energetyczne oscylatora wyznaczymy metodą macierzową postępują zgodnie z rozwiązaniem jakie uzyskał Heisenberg jeszcze przed powstaniem równania falowego Schrödingera. Zgodnie z równaniami ruchu możemy zapisać:

W postaci macierzowej równanie to przyjmuje postać:

Dla elementów macierzowych przyspieszenia mamy zależność:

i w ostateczności, po podstawieniu  do równania macierzowego, otrzymujemy:

Z tego widać, że wszystkie elementy macierzowe, poza tymi dla których ω_mn = ±ω znikają. Teraz ponumerujemy wszystkie stany stacjonarne w ten sposób aby częstości ±ω odpowiadały przejściom n → n + 1, czyli ω_n,n+1 = ±ω. W takim wypadku nie znikają tylko elementy macierzowe x_n,n+1. W kolejnym etapie zakładamy, że wybraliśmy tylko rzeczywiste funkcje falowe ψ_n. Ponieważ x jest rzeczywiste, to rzeczywiste są tez elementy macierzowe x_mn. Macierz jest hermitowska, co znaczy że x_mn = x_nm a tym samym, jest ona symetryczna. Posługując się regułą komutacyjną

zapisana w postaci macierzowej

można wyznaczyć nie znikające elementy macierzy. Na podstawie reguły mnożenia macierzy, z powyższego zapisu wynika, że dla  m = n :

W tej sumie nie znikają jedynie składniki o l = n ± 1, a tym samym otrzymujemy:

 Z tego wynika, że wielkości (x_n+1,n)² tworzą szereg arytmetyczny nie ograniczony z góry, ale ograniczony z dołu gdyż zawiera on tylko wyrazy dodatnie. Teraz trzeba jeszcze określić numer stanu podstawowego, gdyż jak do tej pory mamy tylko określone położenie trzech sąsiadujących stanów n – 1, n, n + 1. Umawiając się, że pierwszy stan oznaczymy numerem n = 0 przyjmujemy, że x_0–1 jest tożsamościowo równe zero. Teraz dla n = 0, 1, 2, 3, ...

A różne od zera elementy macierzowe współrzędnej  definiuje zależność:

Macierz operatora Ĥ jest diagonalna, a elementy macierzowe H_nn są szukanymi wartościami własnymi energii E_n oscylatora. W celu ich wyznaczenia zapiszmy je w postaci odpowiedniej sumy, zgodnie z podanym powyżej wzorem na nie zerowe elementy macierzowe:

W sumie tej różnymi od zera są wyrazy, dla których l = n ± 1, czyli:

Odstępy pomiędzy poziomami energetycznymi oscylatora są równe i wynoszą ħω. Energia stanu podstawowego nie jest równa zero i wynosi ½ ħω.

Obliczenia energii oscylatora można dokonać posługując się równaniem Schrödingera, które dla oscylatora przyjmuje postać:

Dla uproszczenia obliczeń wygodnie jest zamiast zmiennej x wprowadzić zmienną:

Wtedy równanie falowe przyjmuje postać (znak ” oznacza drugą pochodną po ζ):

Dla dużych wartości ζ czynnik 2E/ħω można opuścić w porównaniu z ζ², a równanie ψ” = ζ²ψ ma asymptotyczne rozwiązanie postaci ψ = e^±ζ2/2. Ponieważ dla ζ = ±∞ funkcja falowa powinna dążyć do wartości skończonej, to jako rozwiązanie należy przyjąć funkcję ze znakiem minus w wykładniku. W takim razie należy szukać rozwiązania postaci:

ψ = e^–ζ2/2χ(ζ)

Wstawiając to rozwiązanie do równania falowego otrzymujemy:

gdzie 2n = (2E/ħω) – 1.

Funkcja χ(ζ) powinna mieć skończone wartości dla dowolnych skończonych ζ, a przy ζ → ±∞ może dążyć do nieskończoności nie szybciej niż dowolna funkcja potęgowa, w taki sposób aby funkcja ψ dążyła wówczas do zera. W takim wypadku szukamy rozwiązania powyższego równania różniczkowego w postaci szeregu:

 Podstawiając wyrażenie na szereg do równania różniczkowego otrzymujemy:

Zamieniając w pierwszej sumie wskaźnik sumowania z s na s + 2 otrzymujemy:

Aby równanie to było spełnione tożsamościowo, współczynniki przy każdej potędze powinny znikać, co prowadzi do związku rekurencyjnego

wiążącego ze sobą poszczególne współczynniki wyrazów w szeregu określającym χ. Jak widać szereg zawiera  potęgi ζ tej samej parzystości. W związku z tym aby funkcja χ spełniała warunki jakiej jej narzucono szereg powinien zawierać tylko wyrazy ze skończonymi wykładnikami potęgowymi, czyli powinien kończyć się przy pewnym skończonym s. Ze związku rekurencyjnego widać, że warunek ten będzie spełniony wtedy gdy n będzie całkowitą liczbą dodatnią. Wtedy szereg zakończy się na wyrazie z wykładnikiem potęgi n = s, czyli szereg sprowadzi się do wielomianu stopnia n.W ten sposób uzyskujemy ten sam wynik jak w przypadku rozpatrzenia oscylatora w notacji macierzowej.

Dla stanu podstawowego oscylatora czyli n = 0 z warunku unormowania 

otrzymujemy wyrażenie na funkcję falową stanu podstawowego w postaci:

Funkcja ta nie ma miejsc zerowych dla skończonych wartości x.