Teoretyczne podstawy mechaniki falowej

Zastosowanie klasycznych zasad mechaniki i elektrodynamiki do wyjaśniania zjawisk atomowych prowadzi do wyników, które są sprzeczne z doświadczeniem. Klasycznym przykładem jest zastosowanie elektrodynamiki do opisu elektronu w atomie poruszającego się dookoła jądra po orbicie kołowej. W takim przypadku elektrony powinny wysyłać fale elektromagnetyczne tracąc tym samym energię i w ostateczności „spaść” na jądro. Innymi słowy zgodnie z klasyczną elektrodynamiką atom byłby tworem nietrwałym , co jest sprzeczne z doświadczeniem. Inny przykład to dyfrakcja elektronów. Po przepuszczeniu jednorodnej wiązki elektronów przez kryształ obserwuje się maksima i minima natężenia analogicznie do obrazu dyfrakcyjnego fal elektromagnetycznych. I znowu cząstka, jaką jest elektron w pewnych warunkach wykazuje cechy typowe dla fal. Tym samym w mechanice falowej nie występuje pojęcie toru cząstki. Tego typu pojęcie, dobrze znane w mechanice klasycznej, tutaj traci swój sens. Wniosek taki wynika z zasady nieoznaczoności Heisenberga, przy czym odrzucając podstawowe pojęcia mechaniki klasycznej nie da się zbudować nowej teorii. Negatywna treść jaką niesie samo przyjęcie zasady nieoznaczoności nie prowadzi do nowej mechaniki cząstek. Konieczne jest znalezienie pozytywnych twierdzeń, które można następnie weryfikować. W przypadku mechaniki falowej pewną trudność na drodze poszukiwania jej podstaw stanowił fakt, że nie da się jej stworzyć bez odwołania się do zasad obowiązujących w mechanice klasycznej. Chociażby pojęcie toru cząstki, podstawowe w mechanice klasycznej, jest pozbawione sensu w mechanice falowej. W związku z tym cząstka kwantowa nie posiada charakterystyk dynamicznych odpowiadających mechanice klasycznej. Jednocześnie ilościowy opis ruchu cząstki kwantowej wymaga obiektów klasycznych (układ pomiarowy), które podlegają, w pewnym przybliżeniu, prawom mechaniki klasycznej. Jest to zrozumiałe ponieważ gdy cząstka kwantowa oddziałuje z obiektem podlegającym mechanice klasycznej, stan tego ostatniego ulega zmianie, a charakter i wielkość tej zmiany zależy od stanu cząstki kwantowej. Inaczej mówiąc obiekt podlegający mechanice klasycznej będzie przyrządem, a proces jego oddziaływania z cząstką kwantową pomiarem. Nie ma w tym układzie miejsca dla obserwatora. Obiekt podlegający zasadom mechaniki klasycznej nie musi być ciałem makroskopowym. Wystarczającą cechą takiego obiektu jest jego masa, która musi być odpowiednio duża w porównaniu z masą oddziałującej cząstki. W ten sposób mechanika kwantowa zawiera w sobie mechanikę klasyczną jako przypadek szczególny, a jednocześnie klasyczna teoria stanowi podstawę, na której sformułowana została mechanika falowa.

Pojęcie pomiaru w mechanice falowej posiada istotną cechę odróżniającą ją od mechaniki klasycznej. Otóż każdy proces pomiaru oddziałuje na poddawaną mu cząstkę kwantową i co istotne nie można uczynić tego oddziaływania dowolnie małym. Jednym z podstawowych wartości pomiarowych jest pomiar położenia cząstki. W przypadku cząstki kwantowej można dokonać tego pomiaru z dowolną dokładnością w granicach słuszności mechaniki falowej. Jednak wykonując kolejne pomiary współrzędnych cząstki kwantowej i odkładając je w układzie współrzędnych nie uzyskamy, jak spodziewamy się na gruncie mechaniki klasycznej, jakiejś krzywej ciągłej obrazującej tor cząstki. W rzeczywistości dane pomiarowe będą ułożone w sposób chaotyczny. W miarę gładki przebieg pomiarowy uzyskamy wtedy gdy współrzędne położenia będziemy mierzyć ze stosunkowo niewielką dokładnością. Jeżeli pozostawimy dokładność pomiaru na pewnym poziomie a zmniejszymy odstęp czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami to uzyskiwane wartości położenia cząstki będą rozłożone chaotycznie w całej przestrzeni, w której dokonywaliśmy pomiarów. To pokazuje, że w mechanice falowej nie istnieje pojęcie prędkości cząstki w takim sensie jak klasycznym odpowiedniku. W mechanice klasycznej cząstka charakteryzuje się jednoznacznie określonym położeniem i prędkością, w mechanice falowej jednoczesne określenie tych dwóch wartości jest niemożliwe. W mechanice klasycznej pełny opis układu polega na podaniu w danej chwili czasu wszystkich jego współrzędnych i prędkości, a na podstawie znajomości tych danych można, za pomocą równań ruchu określić stan układu w każdej następnej chwili. W mechanice falowej jest to niemożliwe gdyż współrzędne i odpowiadające im prędkości w danej chwili nie istnieją. Ponieważ dwa pomiary tej samej wartości (położenie, prędkość) wykonane w dwóch różnych chwilach mogą dać różne wyniki to w mechanice falowej określa się prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku. Wyznaczyć jednocześnie możemy tylko niektóre parametry układu kwantowego, i dodatkowo gdy zostaną one wyznaczone to żadne inne, nie będące ich funkcją, parametry nie mogą mieć określonej wartości. Zestaw wartości parametrów, które można wyznaczyć jednocześnie w wyniku pomiaru nosi nazwę układu zupełnego i charakteryzuje on w całości i jednoznacznie stan cząstki kwantowej.

Podstawą aparatu matematycznego mechaniki kwantowej jest stwierdzenie, że opis stanu układu realizuje się przez podanie określonej funkcji współrzędnych Ψ(q). (q oznacza zbiór współrzędnych układu kwantowego. W ten sposób wyrażenie dq oznaczające iloczyn różniczek współrzędnych będzie elementem objętości w przestrzeni konfiguracyjnej układu.) Kwadrat modułu funkcji falowej |Ψ|²dq oznacza prawdopodobieństwo tego, że w wyniku pomiaru otrzymamy wartości, które są zawarte w elemencie dq przestrzeni konfiguracyjnej. Ponieważ suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych wartości współrzędnych układu musi być równa 1, to całka z |Ψ|² po całej przestrzeni konfiguracyjnej musi być równa jedności, czyli:

∫|Ψ|²dq =1

Równanie to opisuje warunek unormowania funkcji falowej. Jeżeli całka ta jest zbieżna to za pomocą odpowiedniego współczynnika funkcję Ψ można unormować. Jeżeli funkcja Ψ jest rozbieżna to nie można jej unormować i wyrażenie |Ψ|²dq nie oznacza bezwzględnej wartości prawdopodobieństwa. Jednak stosunek kwadratów |Ψ|² w dwu różnych miejscach przestrzeni konfiguracyjnej określa względne prawdopodobieństwa odpowiednich wartości.

Jeżeli mamy dwa stany układu kwantowego opisywane funkcjami falowymi Ψ₁(q) i Ψ₂(q) to każda kombinacja liniowa postaci c₁Ψ₁(q) + c₂Ψ₂(q) opisuje stan, w którym pomiar da albo wynik pierwszy lub drugi. Dodatkowo jeżeli znana jest zależność stanu od czasu to każda kombinacja liniowa dwóch stanów zależnych od czasu opisuje możliwą zależność stanu układu od czasu. Jest to tak zwana zasada superpozycji stanów. Weźmy teraz pod uwagę układ złożony z dwóch części, z których każda jest opisana w sposób zupełny. I jeżeli prawdopodobieństwo współrzędnych w pierwszej części jest niezależne od części drugiej to rozkład prawdopodobieństwa dla całego układu jest równy iloczynowi prawdopodobieństw obu części układu. Oznacza to, że funkcja falowa układu Ψ₁₂(q₁,q₂)=Ψ(q₁)Ψ(q₂). Jeżeli obydwie części układu nie oddziałują ze sobą to związek ten zachodzi również w każdej następnej chwili.

Operatory

Weźmy pod uwagę pewną wielkość fizyczną charakteryzującą stan układu kwantowego. Wartości jakle może przyjmować ta wielkość nazywane są w mechanice kwantowej jej wartościami własnymi, a ich zbiór nosi nazwę widma wartości własnych. W mechanice klasycznej wielkości te przebiegają ciągły zbiór wartości. W mechanice kwantowej tylko niektóre wielkości fizyczne mają ciągły zbiór wartości jak na przykład współrzędne. Natomiast inne wielkości mają wartości dyskretne. Przyjmijmy, że rozpatrywana wielkość fizyczna ma dyskretne widmo wartości i oznaczmy wartości własne wielkości f jako Ψ_n odzie n przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3, ... . Przez Ψ_n oznaczymy funkcję falowa układu, w którym wielkość f ma wartość f_n. Zakładamy, że funkcje Ψ_n są unormowane, czyli:

∫|Ψ_n|²dq =1

Zgodnie z zasadą superpozycji funkcja falowa Ψ powinna być kombinacją liniową funkcji falowych Ψ_n odpowiadających takim wartościom f_n jakie mogą być zaobserwowane z prawdopodobieństwem różnym od zera przy pomiarze przeprowadzonym nad układem znajdującym się w danym stanie. Z tego wynika, że funkcję Ψ można przedstawić w postaci szeregu:

gdzie sumowanie przebiega po wszystkich n, a a_n oznacza stałe współczynniki. To wyrażenie pozwala na określić prawdopodobieństwo każdej z wartości wielkości f w układzie opisanym funkcją falową Ψ. Prawdopodobieństwo wartości f_n powinno stawać się równe jedności jeżeli układ znajdzie się w stanie opisanym funkcją Ψ_n i stawać się równym zero jeżeli w rozwinięciu nie występuje składnik z daną funkcją własną Ψ_n. Jedyną wartością jaka spełnia te warunki jest kwadrat modułu współczynnika a_n. Inaczej mówiąc kwadrat |a_n|² określa prawdopodobieństwo wartości f_n wielkości f w stanie opisanym funkcją falową Ψ. Suma prawdopodobieństw powinna być równa jedności, czyli:

 Teraz określmy wartość średnią wielkości f w danym stanie. Zgodnie z definicją wartości średniej jest to suma wszystkich wartości f_n danej wielkości pomnożonych przez odpowiadające im prawdopodobieństwa:

Zapisując wyrażenie na średnią zawierające zamiast współczynników rozwinięcia funkcji Ψ sama funkcję wprowadzamy operator, który działający na funkcję falową daję wartość średnia wielkości f.

W mechanice falowej każdej wielkości fizycznej odpowiada określony operator liniowy.  Jeżeli funkcja Ψ w powyższym wzorze jest jedna z funkcji własnych, czyli Ψ_n to wartość średnia powinna być równa określonej wartości f_n.

Aby taka równość zachodziła musi być spełniona zależność:

czyli w wyniku działania operatora na funkcja własna Ψ_n zostaje pomnożona przez odpowiadającej jej wartość własną f_n. W ten sposób funkcja własna danej wielkości fizycznej jest rozwiązaniem równania:

w którym f jest stałą, a wartości własne to te wartości stałej przy których równanie ma rozwiązania spełniające określone warunki. Ponieważ wartości własne wielkości fizycznych, jak i jej wartości średnie przybierają tylko wartości rzeczywiste, to operatory muszą być operatorami hermitowskimi dla których zachodzi równość operatora sprzężonego z transponowanym. Dalej dla dwóch różnych wartości własnych rzeczywistej wielkości fizycznej odpowiadające im funkcje falowe są wzajemnie ortogonalne, co wraz z warunkiem unormowania można zapisać jako:

gdzie δ_nm=1 gdy n=m i δ_nm=0 gdy n≠m. W związku z tym łatwo jest wyznaczyć współczynniki a_n. rozwinięcia funkcji falowej co polega na scałkowaniu względem dq iloczynu funkcji falowej i jej formy sprzężonej.

Dwie wielkości fizyczne w mechanice kwantowej mogą być mierzalne jednocześnie lub nie. W pierwszym przypadku operatory tych dwóch wielkości mają wspólne funkcje własne, które są jednocześnie funkcjami własnymi sumy operatorów. Jeżeli dwie wartości fizyczne nie mają jednocześnie określonych wartości to jedynie wartość średnia sumy jest równa sumie wartości średnich składników. Generalnie jeżeli dwie wartości fizyczne mogą być określone jednocześnie to ich operatory muszą ze sobą komutować, czyli:

Przejście graniczne do mechaniki klasycznej

W mechanice kwantowej cząstkę opisuje funkcja falowa określająca różne wartości jej współrzędnych i będąca rozwiązaniem pewnego liniowego równania różniczkowego. W mechanice klasycznej cząstkę traktujemy jako punkt materialny poruszający się po określonym torze opisanym równaniami ruchu. Związek pomiędzy obydwoma mechanikami jest podobny do tego jaki występuje pomiędzy optyką falową i geometrią w elektrodynamice. W optyce falowej fale elektromagnetyczne opisane są za pomocą wektorów pól elektrycznego i magnetycznego spełniających różniczkowe równania Maxwella. W optyce geometrycznej rozpatruje się tory, po których rozchodzi się światło. Składowa pola elektromagnetycznego można opisać w postaci u=ae^iφ gdzie a jest amplitudą, φ fazą. W granicy optyki geometrycznej mamy małe długości fal, co powoduje, że duże zmiany fazy występują na małych odległościach. Podobnie w mechanice klasycznej granicznemu przypadkowi odpowiadają w mechanice falowej funkcje postaci Ψ=ae^iφ gdzie a jest funkcją wolnozmienną, a φ przyjmuje duże wartości. W mechanice tor cząstki można określić za pomocą metody wariacyjnej, w której działanie układu musi być minimalne. Podobnie w optyce geometrycznej bieg promienia światła określa zasada fermata, zgodnie z którą droga optyczna promienia, czyli różnica faz między końcem i początkiem drogi powinna być minimalna. Zgodnie z tym można stwierdzić, że faza funkcji falowej w granicznym przypadku mechaniki klasycznej jest wprost proporcjonalna do mechanicznego działania układy fizycznego. Współczynnik proporcjonalności jest stałą Plancka (ħ). Funkcja falowa quasi-klasycznego układu fizycznego ma postać:

gdzie S jest działaniem. Teraz przejście od mechaniki kwantowej do klasycznej realizuje się w przypadku dużej fazy, czyli odpowiada przypadkowi, w którym ħ → 0. Problemem pozostaje ruch po torze, który w mechanice falowej nie występuje. Otóż posługując się funkcją falową w takiej postaci, że jej wartości znacznie różnią się od zera w bardzo małym obszarze czyli tak zwaną paczką falową, której rozmiary dążą do zera gdy ħ → 0 można uzyskać w przestrzeni tor odpowiadający ruchowi opisywanemu w mechanice klasycznej.

Operator Hamiltona

Funkcja falowa ψ opisuje stan fizyczny układu w sposób całkowity, czyli podanie tej funkcji dla pewnej chwili czasu pozwala określić zachowanie układu w każdym następnym momencie czasu z taką dokładnością na jaką pozwalają zasady mechaniki falowej. Z matematycznego punktu widzenia wartość pochodne funkcji falowej względem czasu powinna wynikać z wartości funkcji ψ w danym momencie. Można to zapisać następująco:

Całka ∫ψ*ψdq jest niezależna od czasu więc jej pochodna po dt jest równa zero. Weźmy teraz graniczną postać funkcji falowej dla układu quasi-klasycznego i podstawmy ją do powyższego wzoru:

Pochodna δS/δt jest funkcją Hamiltona dla układu mechanicznego i teraz jeżeli znamy hamiltonian układu to równanie powyższe określa funkcje falowe układu fizycznego.

W mechanice falowej nie można określić pochodnej względem czasu danej wielkości fizycznej w takim sensie jak ma to miejsce w mechanice klasycznej. W klasycznej mechanice pochodna względem czasu związana jest ze znajomością wartości danej wielkości fizycznej w dwóch bliskich sobie, ale różnych momentach czasowych. W mechanice falowej dana wielkość mierzona w danej chwili w następnym momencie może nie mieć żadnej określonej wartości. W związku z tym przyjęto określenie pochodnej względem czasu pewnego operatora jako wielkości, której wartość średnia równa jest pochodnej względem czasu średniej wartości tej wielkości. W takim wypadku różniczkowanie względem czasu jest równoznaczne z różniczkowanie operatora względem czasu od którego zależy on jak od parametru. Jeżeli operator nie zależy jawnie od czasu to różniczkowanie względem czasu sprowadza się do komutatora operatora i hamiltonianiu. Istotną rolę odgrywają wartości fizyczne, których operatory nie zależą jawnie od czasu i komutują z hamiltonianami. W takim przypadku wartość średnia takiej wielkości pozostaje stała w czasie. Dodatkowo jeżeli w danej chwili posiada ona określoną wartość to i w chwilach późniejszych będzie ona zachowana.

Stany stacjonarne

Hamiltonian układu znajdującego się w stałym, niezmiennym w czasie, polu zewnętrznym nie zawiera czasu w sposób jawny. Z tego wynika, że w takim układzie wszystkie chwile czasu są równoważne, a hamiltonian z definicji komutuje sam ze sobą. Wiadomo, że niezmienna w czasie funkcja Hamiltona określa energię układu. W mechanice kwantowej prawo zachowania mówi, że jeżeli układ w danym stanie ma określoną wartość energii, to zostaje ona zachowana w czasie. Stany, w których energia ma określone wartości noszą nazwę stanów stacjonarnych układu i opisywane są funkcjami falowymi będącymi funkcjami własnymi  operatora Hamiltona. W związku z tym spełnione jest równanie:

w którym E_n oznacza wartość własną energii. Scałkowanie równania falowego:

po czasie prowadzi do uzyskania zależności funkcji falowych stanów stacjonarnych od czasu wyrażonych przez funkcje φ_n zależne jedynie od współrzędnych:

Funkcje falowe stanów stacjonarnych bez czynnika czasowego jak również wartości własne energii określone są równaniem:

Stan stacjonarny o najniższej energii nosi nazwę stanu podstawowego układu. Dowolną funkcję falową można rozwinąć na funkcje falowe stanów stacjonarnych stosując następującą wyrażenie:

gdzie kwadraty modułów współczynników rozwinięcia |a_n|² określają prawdopodobieństwo różnych wartości energii układu. W stanie stacjonarnym prawdopodobieństwo dla współrzędnych określają kwadraty modułu funkcji falowej i są one niezależne od czasu podobnie jak wartość średnia danej wielkości fizycznej. Ponieważ operator każdej wielkości stałej komutuje z hamiltonianem, to każda wielkość fizyczna może być jednocześnie mierzona z energią układu.

Wśród stanów stacjonarnych mogą być takie, które posiadają tę samą wartość energii ale różnią się wartościami innych wielkości fizycznych. Stany takie nazywane są stanami zwyrodniałymi, a występowanie poziomów zwyrodniałych pokazuje, że sama energia nie stanowi zupełnego układu wielkości fizycznych stanu kwantowego.

Macierze wielkości fizycznych

Załóżmy, że mamy do czynienia z układem, którego widmo wartości energetycznych jest dyskretne. W takim wypadku funkcję falową takie układu można rozwinąć na funkcje stanów stacjonarnych zgodnie z wyrażeniem: Ψ=∑a_nΨ_n. Zastosowanie tego rozwinięcia do określenia wartości średniej pewnej wielkości fizycznej (f) prowadzi do zależności:

gdzie f_nm(t) oznacza całkę:

Zbiór wielkości f_nm(t), w którym n i m przebiegają wszystkie możliwe wartości tworzy macierz wielkości f. Reprezentację macierzową wielkości fizycznych wprowadził W. Heisenberg w roku 1925 jeszcze przed sformułowaniem przez Schrödingera równania falowego. Elementy macierzowe wygodnie jest zapisać w notacji Diraca w postaci <n|f|m>. Zależność od czasu elementów macierzowych zawarta jest w zależności od czasu funkcji Ψ_n i można ją przedstawić w postaci:

 gdzie ω_nm jest częstością przejścia pomiędzy stanami n i m daną wzorem:

Natomiast niezależne od czasu elementy macierzowe wielkości f są dane wzorem:

 Pochodna po czasie elementów macierzowych niezależnych od czasu wyraża się wzorem:

Pęd

Weźmy pod uwagę zamknięty układ cząstek, na który nie działa pole zewnętrzne. W takim przypadku wszystkie położenia układu w przestrzeni są równoważne a tym samym hamiltonian układu nie zmienia się przy równoległym przesunięciu układu na dowolną odległość. Zażądajmy aby ten warunek był spełniony przy dla nieskończenie małego przesunięcia przez co będzie on spełniony dla każdego skończonego przesunięcia układu. Przesunięcie nieskończenie małe powoduje, że promienie wodzące r_i wszystkich cząsteczek uzyskują jednakowe przyrosty δr. Przy takim przesunięciu funkcja współrzędnych cząstek φ(r₁, r₂, ....) przechodzi w funkcję:

gdzie ∇_i oznacza wektor o składowych δ/δx_i, δ/δy_i, δ/δz_i, a wyrażenie:

opisuje operator nieskończenie małego przesunięcia. Ponieważ nieskończenie małe przesunięcie nie zmienia hamiltonianu oznacza, że przekształcenie to zastosowane do funkcji Ĥφ nie powoduje jej zmiany. Z tego wynika, że operator nieskończenie małego przesunięcia komutuje z operatorem Hamiltona, a wielkość mu odpowiadająca jest stałą ruchu. Niezmienność w czasie dla układu zamkniętego wynikająca z jednorodności przestrzeni jest pęd układu. W ten sposób prawo zachowania pędu w mechanice kwantowej można zapisać równaniem:

Każdy ze składników sumy ∇_i odpowiada pędowi pojedynczej cząsteczki w układzie. Współczynniki proporcjonalności pomiędzy operatorem pędu cząsteczki i operatorem ∇ można wyznaczyć za pomocą przejścia granicznego do mechaniki klasycznej. Operator pędu w ujęciu klasycznym jest równy pewnej stałej pomnożonej przez ∇ i z warunku granicznego wynika, że:

Ponieważ gradient z działania ∇S jest pędem cząstki to c musi być równe –iħ. Operator pędu ma postać –iħ∇, a po rozpisaniu na współrzędne:

Operator ten jest hermitowski, a wynik różniczkowania względem dwu różnych zmiennych nie zależy od kolejności co oznacza, że wszystkie trzy składowe pędu cząstki można wyznaczyć jednocześnie. Dalej trzy składowe pędu tworzą jeden z możliwych zupełnych układów wielkości fizycznych charakteryzujących cząstkę i mają widmo ciągłe wartości. Unormowana funkcja falowa w przedstawieniu pędowym ma postać:

Funkcje własne operatora pędu dane są wzorem:

gdzie d ³p oznacza pochodne po trzech wymiarach. Współczynniki rozwinięcia a(p) są dane wzorem:

Jednocześnie funkcję a(p) można rozpatrywać jako funkcję falowa cząstki w przedstawieniu pędowym, a |a(p)|²d³p jest prawdopodobieństwem tego, że cząstka ma pęd o wartości zawartej w elemencie d³p przestrzeni pędu.

Reguła nieoznaczoności

 Rozpatrzmy reguły komutacji operatora pędu ze współrzędnymi. Wynik różniczkowania względem jednej ze współrzędnych i mnożenia przez inna nie zależy od kolejności operacji. Natomiast reguła mnożenia składowej operatora pędu przez odpowiadającą mu współrzędną sprowadza się do mnożenia funkcji przez czynnik –iħ. W związku z tym składowa pędu i współrzędna wzdłuż tej samej osi nie mogą być jednocześnie określone. Teraz załóżmy, że cząstka znajduje się w skończonym obszarze przestrzeni określonym wzdłuż trzech osi współrzędnych Δx, Δy i Δz, a średnia wartość pędu wynosi p₀. W takim przypadku funkcja falowa ma postać:

gdzie u(r) oznacza funkcję różniącą się od zera jedynie w obszarze Δx, Δy i Δz. Rozwijając te funkcję w szereg Fouriera otrzymujemy współczynniki rozwinięcia a(p) są całkami z funkcji postaci u(r)e^{i(p₀–p)/ħ}. Aby taka całka różniła się od zera okresy oscylacyjne e^{i(p₀–p)/ħ} muszą być nie mniejsze niż rozmiary obszaru Δx, Δy, Δz. Z tego wynika, że a(p) będzie różnić się od zera dla takich wartości p, dla których (p_0x–p)/ħΔx ≤ 1, ... .Ponieważ |a(p)|²określa prawdopodobieństwo wartości pędu, to przedziały wartości p_x, p_y i p_z w których a(p) nie znika są przedziałami wartości, w których zawarte są składowe pędu cząstki w rozpatrywanym stanie. Z tego wynikają relacje nieoznaczoności sformułowane przez Heisenberga w postaci:

Δp_xΔx ~ ħ; Δp_yΔy ~ ħ; Δp_zΔz ~ ħ.

Z tych zależności widać, że im dokładniej znamy położenie cząstki tym nieokreśloność pędu wzdłuż tej samej osi jest większa. W granicy gdy cząstka znajduje się w określonym położeniu czyli Δx =Δy = Δz = 0 to Δp_x=Δp_y=Δp_z = ∞, co oznacza, że wszystkie wartości pędu są jednakowo prawdopodobne. Tak samo jeżeli cząstka ma ściśle określony pęd to może ona zajmować każde położenie w przestrzeni.