Teoria relatywistyczna

Zagadnienia mechaniki kwantowej przedstawione wyżej nie mają zastosowania do zjawisk towarzyszących ruchom z prędkościami porównywalnymi z prędkością światła. Dodatkowo bezpośrednie uogólnienie aparatu teorii nierelatywistycznej nie jest możliwe. Mechanika kwantowa w znacznym stopniu ogranicza możliwość jednoczesnego występowania różnych zmiennych dynamicznych cząstki. Nieoznaczoności położenia i pędu związane są zależnością Δq·Δq ~ ħ, czyli im dokładniej zostaje wyznaczona jedna z tych wielkości, z tym mniejszą dokładnością może być zmierzona druga. Istotne jest natomiast to, że każda ze zmiennych dynamicznych może być zmierzona z dowolnie dużą dokładnością, przy czym czas pomiaru może być dowolnie krótki. Ta właściwość odgrywa podstawową rolę w nierelatywistycznej mechanice kwantowej, gdyż pozwala wprowadzić pojęcie funkcji falowej ψ(q), której kwadrat modułu określa prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru w danej chwili tej lub innej współrzędnej cząstki. Podstawą takiego wprowadzenia takiego prawdopodobieństwa jest zasadnicza możliwość dokonania pomiaru dowolnie dokładnego i dowolnie szybkiego. W innym wypadku takie pojęcie staje się bezprzedmiotowe i pozbawione jakiegokolwiek sensu fizycznego. Istnienie ograniczenia prędkości do prędkości światła w próżni, prowadzi do ograniczeń możliwości pomiarów różnych wielkości fizycznych. Analizując relacje nieoznaczoności dla energii stwierdzamy, że zachodzi związek pomiędzy nieoznaczonością pędu i czasem trwania pomiaru:

(ν’ – ν)ΔP Δt ~ ℏ

Z relacji tej wynika, że można uzyskać dostatecznie dokładny pomiar pędu w ciągu dostatecznie krótkiego odcinka czasu tylko kosztem dostatecznej zmiany prędkości wynikającej z samego procesu pomiaru. W teorii nierelatywistycznej właściwość ta była przejawem niepowtarzalności pomiaru pędu dokonywanego po krótkim odstępie czasu. Ta niepowtarzalność nie wpływała na zasadniczą możliwość dowolnie dokładnego jednorazowego pomiaru pędu gdyż różnicę (ν’ – ν) można było uczynić dowolnie dużą. Istnienie granicznej prędkości zmienia sytuację w sposób zasadniczy. Teraz różnica ν’ – ν jak i same prędkości nie mogą przewyższać prędkości światła c (dokładnie 2c ).W związku z tym podany powyżej związek przyjmuje postać:

ΔP Δt ~ ℏ/c

Z tego wynika, że w teorii relatywistycznej dowolnie szybki i dowolnie dokładny pomiar pędu nie jest możliwy. Dokładny pomiar pędu ΔP → 0 możliwy jest jedynie w granicy nieskończenie długiego pomiaru. Podobnie wygląda sytuacja z pomiarem współrzędnej. W teorii relatywistycznej współrzędna jest mierzalna tylko z dokładnością nie przekraczającą określonego minimalnego przedziału. Z tego wynika, że pojęcie lokalizacji cząstki ulega dalszemu ograniczeniu. z punktu widzenia formalizmu matematycznego sytuacja ta powoduje niemożność pogodzenia ścisłego pomiary współrzędnej cząstki z żądaniem dodatniej swobodnej energii. Pojawiają się w układzie zupełnym funkcji własnych swobodnej cząstki rozwiązania z "ujemnymi energiami", które wchodzą do rozwinięcia paczki falowej odpowiadającej cząstce zlokalizowanej w niewielkim obszarze przestrzeni. Innymi słowy pojawiają się antycząstki, które wynikają z procesu pomiaru współrzędnych.

W układzie współrzędnych, w którym elektron spoczywa minimalny błąd pomiaru jego współrzędnych wynosi:

Δq ~ ℏ/mc

Wartości tej odpowiada nieoznaczoność pędu Δp ~ mc, a ta wielkość odpowiada energii koniecznej do kreacji pary elektron-pozyton. W układzie, w którym elektron porusza się z energią ε mamy:

 Δq ~ ℏc/ε

W granicznym przypadku relatywistycznym gdy energia związana jest z pędem ε = c­­­·p, mamy

 Δq ~ ℏ/p

czyli nieokreśloność położenia równa jest długości fali de Broglie’a odpowiadającej cząstce.

Jak widać w relatywistycznej mechanice kwantowej współrzędne cząstek nie mogą występować w roli współrzędnych dynamicznych. Nie można też zachować takiego samego jak w teorii nierelatywistycznej pojęcia pędu.

Rozwinięcie zagadnień relatywistycznej mechaniki kwantowej znajduje się na kolejnych podstronach, przy czym dla uproszczenia wzorów zastosowany został relatywistyczny układ jednostek. W tym układzie prędkość światła i stała kwantowa ℏ równe są jedności. W takim ujęciu energia, pęd i masa mają jednakowy wymiar identyczny z odwrotnością wymiaru długości, a kwadrat ładunku elementarnego w tych jednostkach jest bezwymiarowy i równy 1/137.